בגרות 582 חורף 2020 – אליפסה: היקף ושטח משולש המוקדים, פרבולה ומקום גאומטריהנדסה אנליטית 572 · שיעור 109
בגרות 582 · חורף 2020 · שאלה 1
שיעור 109 – בגרות 582 חורף 2020 – אליפסה: היקף ושטח משולש המוקדים, פרבולה ומקום גאומטרי
פרק 10 – פתרון בגרויות 582
1נוסח השאלה
2סעיף א – משוואת האליפסה
3סעיף ב – הנקודה A
4סעיף ג – הנקודה L
5סעיף ד – מקום גאומטרי של מפגש התיכונים
📄 נוסח השאלה
נתונה אליפסה שמשוואתה קנונית. F1 ו־F2 הם מוקדי האליפסה. A היא נקודה על האליפסה ברביע הראשון. נתון: אורך הציר הראשי של האליפסה הוא 13. היקף המשולש AF1F2 הוא 25.
א. מצאו את משוואת האליפסה.
נתון: שטח המשולש AF1F2 הוא 12.
ב. מצאו את שיעורי הנקודה A .
📄 נוסח השאלה · המשך
פרבולה, שמשוואתה y2 = 2px , עוברת דרך הנקודה A . המשיק לפרבולה בנקודה A חותך את ציר ה־x בנקודה L .
ג. מצאו את שיעור ה־x של הנקודה L .
הפרבולה והאליפסה נחתכות בנקודה A ובנקודה B . נקודה D נמצאת על הקטע AB .
ד. מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של מפגש התיכונים במשולשים ALD .
סעיף א – משוואת האליפסה
הציר הראשי:
2a = 13 ⇒ a = 6.5
היקף המשולש הוא AF1 + AF2 + F1F2 . לפי הגדרת האליפסה סכום המרחקים מהמוקדים הוא 2a , והמרחק בין המוקדים הוא 2c :
AF1 + AF2 = 2a = 13
📐 הגדרת האליפסה
13 + 2c = 25 ⇒ c = 6
נכתוב את הקשר ונסמן את מה שנציב:
📐 הגדרת האליפסה
PF1 + PF2 = 2a
סעיף א – משוואת האליפסה · המשך
נכתוב את הקשר ונסמן את מה שנציב:
b2 = a2 − c2
📐 אליפסה קנונית
נציב a = 6.5 , c = 6 :
b2 = 6.52 − 62
b2 = 42.25 − 36 = 6.25
x242.25 + y26.25 = 1
📐 אליפסה קנונית
x2a2 + y2b2 = 1
c2 = a2 − b2
מוקדים (±c , 0)
c2 = a2 − b2
מוקדים (±c , 0)
סעיף א – משוואת האליפסה · המשך
x242.25 + y26.25 = 1
✅ פתרון סופי: x242.25 + y26.25 = 1
סעיף ב – הנקודה A
הבסיס F1F2 מונח על ציר ה־x , ואורכו 2c = 12 . הגובה לבסיס הוא שיעור ה־y של A :
12 = 12 · yA2
📐 שטח משולש
yA = 2
נכתוב את משוואת האליפסה ונסמן את y :
x242.25 + y26.25 = 1
נציב y = 2 :
📐 שטח משולש
S = a · h2
סעיף ב – הנקודה A · המשך
נציב y = 2 :
x242.25 + 226.25 = 1
x242.25 = 1 − 0.64 = 0.36
x2 = 0.36 · 42.25 = 15.21
x = 3.9
הנקודה ברביע הראשון, ולכן x = 3.9 חיובי.
סעיף ב – הנקודה A · המשך
הנקודה ברביע הראשון, ולכן x = 3.9 חיובי.
✅ פתרון סופי: A(3.9 , 2)
סעיף ג – הנקודה L
הפרבולה עוברת דרך A(3.9 , 2) . נכתוב את המשוואה ונסמן את x ואת y :
y2 = 2px
נציב x = 3.9 , y = 2 :
22 = 2p · 3.9
4 = 7.8p ⇒ p = 47.8 = 2039
נכתוב את נוסחת המשיק לפרבולה ונסמן את מה שנציב:
סעיף ג – הנקודה L · המשך
נכתוב את נוסחת המשיק לפרבולה ונסמן את מה שנציב:
y · y0 = p(x + x0)
📐 משוואת המשיק לפרבולה
נציב x0 = 3.9 , y0 = 2 :
2y = p(x + 3.9)
הנקודה L על ציר ה־x , ולכן y = 0 :
0 = p(x + 3.9)
📐 משוואת המשיק לפרבולה
y · y0 = p(x + x0)
סעיף ג – הנקודה L · המשך
0 = p(x + 3.9)
הפרמטר p שונה מ־0, ולכן:
x + 3.9 = 0 ⇒ x = −3.9
שימו לב: לא היה צורך בערך של p – המשיק לפרבולה בנקודה (x0 , y0) תמיד חותך את ציר ה־x ב־−x0 .
✅ פתרון סופי: xL = −3.9
סעיף ד – מקום גאומטרי של מפגש התיכונים
הפרבולה והאליפסה סימטריות שתיהן ביחס לציר ה־x . לכן גם B(3.9 , −2) על שתיהן, וזו הנקודה השנייה.
אפשר לוודא שאין נקודות חיתוך נוספות: מציבים y2 = 4039x במשוואת האליפסה, ומקבלים משוואה ריבועית עם הפתרונות x = 3.9 ו־x = −656 . הפתרון השלילי נפסל, כי על הפרבולה x ≥ 0 .
הקטע AB אנכי ונמצא על הישר x = 3.9 , ולכן D(3.9 , t) , כאשר −2 ≤ t ≤ 2 .
סעיף ד – מקום גאומטרי של מפגש התיכונים · המשך
הקטע AB אנכי ונמצא על הישר x = 3.9 , ולכן D(3.9 , t) , כאשר −2 ≤ t ≤ 2 .
נקודת מפגש התיכונים במשולש היא ממוצע שיעורי הקודקודים. בעזרת A(3.9 , 2) , L(−3.9 , 0) , D(3.9 , t) :
X = 3.9 + (−3.9) + 3.93 = 1.3
📐 מפגש התיכונים
Y = 2 + 0 + t3
שיעור ה־x קבוע: x = 1.3 . כש־t משתנה, Y משתנה. המקום הגאומטרי נמצא על הישר x = 1.3 . צריך להוציא את הנקודה שבה D = A , כי אז אין משולש.
📐 מפגש התיכונים
(x1 + x2 + x33 , y1 + y2 + y33)
סעיף ד – מקום גאומטרי של מפגש התיכונים · המשך
שיעור ה־x קבוע: x = 1.3 . כש־t משתנה, Y משתנה. המקום הגאומטרי נמצא על הישר x = 1.3 . צריך להוציא את הנקודה שבה D = A , כי אז אין משולש.
בסקיצה: האליפסה בכחול, הפרבולה בירוק, המשיק באפור, הקטע AB בתכלת, משולש לדוגמה באדום והישר x = 1.3 בסגול מקווקו.
✅ פתרון סופי: x = 1.3
📌 סיכום התשובות
סעיף א
x242.25 + y26.25 = 1
סעיף ב
A(3.9 , 2)
סעיף ג
−3.9
סעיף ד
x = 1.3
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא